Question mathématique

[Nombrilist]

Soit, mais je ne vois pas le rapport entre votre conclusion, qui est évidente avec la définition de aX que vous avez donnée (*), et ce que vous avez annoncé, et pas plus avec la question initiale.

(*): aX = X₂/X₁ - 1 => aX- X₂/X₁ = -1 etc.

En reprenant les définitions d'Incognito:

Q = le PIB en volume
P = le niveau des prix
M = la quantité de monnaie
V = la vélocité de la monnaie

aQ = croissance du PIB
aP = inflation
aM = changement de la quantité de monnaie
aV = changement de la vélocité de la monnaie

J'ai exprimé une relation additive entre ces paramètres, ce qui est une réponse à la question d'Incognito.

[Cheshire cat]

Sinon, un moyen d'obtenir le résultat sans dérivée logarithmique :

Q P = M V
Donc, avec la formule que j'ai donnée dans mon premier post:

Q dP + P dQ = M dV + V dM

J'utilise une deuxième fois que Q P = M V

(Q dP + P dQ)/ (Q P)= (M dV + V dM)/(M V)

(Q dP)/(Q P) + (P dQ)/ Q P = (M dV)/(M V) + ( V dM)/( M V)

dP/P + dQ/Q = dV/V + dM/M.

quod erat demonstrandum

[Nombrilist]

J'aime bien cette démonstration. C'est élégant.

[Incognito]

Plutôt que des additions, je pense que c'est plutôt:

Croissance réelle du PIB * Inflation = changement de la quantité de monnaie * changement de la vélocité de la monnaie

Ben non : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées !

Je n'ai jamais dérivé quoi que ce soit. Soit M1V1=P1Q1 et M2V2=P2Q2. On voit immédiatement que (M2/M1)(V2/V1)=(P2/P1)(Q2/Q1).

X2/X1 peut être vu comme une forme d'accroissement. Et ici, pas de problème à se demander si la courbe est dérivable ou si l'accroissement est suffisamment petit pour que l'équation soit valide.

On peut aussi remarquer que taux d'accroissement d'une variable aX = X2/X1 - 1 <=> X2/X1 = 1 + aX

D'où, en réinjectant dans (M2/M1)(V2/V1)=(P2/P1)(Q2/Q1):

(1+aM)(1+aV) = (1+aP)(1+aQ)
<=> 1 + aM + aV + aMaV = 1 + aP + aQ + aPaQ
<=> aM + aV + aMaV = aP + aQ + aPaQ

aMaV = (M2/M1 - 1)(V2/V1 - 1) = 1 - M2/M1 - V2/V1 + M2V2/M1V1
aPaQ = (P2/P1 - 1)(Q2/Q1 - 1) = 1 - P2/P1 - Q2/Q1 + P2Q2/P1Q1

aMaV - aPaQ = P2/P1 + Q2/Q1 - M2/M1 - V2/V1 (car M2V2/M1V1 = P2Q2/P1Q1)

Donc: aM + aV - M2/M1 - V2/V1 = aP + aQ - P2/P1 - Q2/Q1

Il n'y a aucun prérequis à l'applicabilité de cette équation, si ce n'est qu'il faut que les X1 sont tous différents de zéro.

Correct je crois, mais ce n'est pas l'expression simple que je cherchais.

[Nombrilist]

Cette expression est correcte et valide pour les petits et les grands accroissements. On peut noter que pour un ensemble de très petits accroissements, certains termes s'annulent probablement et on retrouve bien aM + aV = aP + aQ

[Incognito]

Application concrète:

IMG_2407.JPG (334.12 Kio) Vu 974 fois

[Nombrilist]

La corrélation est parfaite. C'est pas possible, il y a un des quatre termes qui a été déterminé à partir des 3 autres ?

[Incognito]

Je ne serais pas surpris en effet. C'est un bouquin grand public.

[Incognito]

En checkant, l'auteur dit explicitement que la vélocité est dérivée à partir des 3 autres grandeurs.

[Cheshire cat]

Effectivement, j'avais donné ma formule avec des d minuscule désignant de petites variations, auquel cas le résultat est valide avec une bonne approximation.
Ici, ce n'est pas le cas, en particulier pour la dernière ligne.

Sinon, pour ceux que ces choses intéressent, actuellement chez votre marchand de journaux, un hors série du magazine de vulgarisation mathématique "Tangeante: "mathématiques et économie".

[Cheshire cat]

J'avais dit que pour de petites variation du, dv on a:
d(uv)=udv +vdu

Pour des variations générales Δu, Δv, on a :

Δ(uv) = (u + Δu)(v + Δv) -uv = (uv + uΔv + vΔu + Δu Δv) - uv = uΔv + vΔu +Δu Δv

Pour Δu et Δv petits, Δu Δv est encore plus petit et donc négligeable devant les deux premiers termes , ce qui conduit à la première formule.

[Golgoth]

Bon, j'avais totalement raté ce fil intéressant, mince !

Sinon, sachant que d(ln (u))= (du) / u ^(*)(dérivée logarithmique) , on obtient:
de QP=MV :
ln(QP)=ln(MV)
ln (Q) + ln(P)= ln(M)+ln(V)
d ln (Q) +d ln(P)= d ln(M) + d ln(V)

(dQ)/Q + d(P)/P= (d M)/M + (dV)/V

Je ne sais pas si ça répond à la question, mais si c'est le cas, c'est aussi simple que ça !

(*) ou en terme de dérivée: (d ln(u))/du = 1/u !

Il y a quand même une approximation variation de Q ~ dQ qui n'est valable que si dQ/Q est petite et que la fonction est "gentille", en cas de super crise ce n'est pas applicable. Mais cela a surement été déjà dit.

Faudra que je retrouve pourquoi d ln(x) = dx / x

Comment relier à la notion de dérivée enseignée en cours de mathématiques au lycée, à défaut de vraiment justifier mathématiquement .

Il faut considérer tes quantités comme des fonctions du temps.

Si A est une fonction du temps dA/dt désignera la fonction dérivée de A . si on la note A', on aura (dA/dt)(x)= A'(x)

Je noterai ln A la fonction définie par (ln A)(x)= ln(A(x)) fonction composée de ln et A

Appliquons la formule de dérivation d'une fonction composée et celle de la dérivée de la fonction ln : ln'(y)=1/y

(d(ln A)/dt)(x)= ((A')(x))*( ln' (A))(x)) = (dA/dt)(x) ( 1/A(x))= (dA/dt)/A)(x) {si C et D sont deux fonctions, la Fonction C/D sera définie par (C/D)(x) = C(x) / D(X) etc}

On a donc pour tout x ,(d(ln A)/dt)(x)=(dA/dt)/A)(x) ; d(ln A)/dt et (dA/dt)/A désignent la même fonction, elles sont égales.

donc (d lnA/dt)= (dA / dt) /A

et en simplifiant par dt (!!!) : d ln A=(dA)/A

!!! : la dernière ligne semble une escroquerie mathématique, mais ce type de calcul marche !

Comme parfois en mathématique, des justifications compliquées pour quelqu chose d'assez simple.

Le logarithme népérien est une primitive de 1/x par définition.

[Cheshire cat]

On procède ainsi au lycée il me semble. On peut aussi commencer par définir l'exponentielle, par exemple par des séries entières, puis le ln comme sa réciproque.
C'est en tous cas une propriété fondamentale du logarithme népérien.

[Golgoth]

JE vois qu'on aime bien les maths.
Si tu définis ln x comme l’unique primitive de 1/x qui s'annule en x = 1, tu retrouves tout le reste et tu peux définir e comme le nombre tel que ln e = 1.

[Cheshire cat]

La question, pour le mathématicien, est de justifier l'existence d'une primitive de x->1/x . On t'a dit qu'il y en avait une, et tu l'a admis.
Intégrale de Riemann par exemple qui permet de définir ln(x)=∫₁^x 1/t dt sans passer par la notion de primitive.